게임이론(game theory)

1.서 론

(1 )정의

"이해가 엇갈리는 경쟁적 상황"을 연구하는 학문이다.  즉 이해가 엇갈리는 경쟁적인 상황에서 사람들의 전략적 행동을 연구하는 학문이라 할 수 있다.

여기서 전략적이라 함은 한 사람이 어떤 행동을 위하기 위해서는 반드시 상대방이 그 행동에 대해 어떻게 대응할지를 미리 생각해야 하는 상황을 말한다.

(2) 용어해설

게임: 경쟁적 상황의 구조를 설명해 둔 규정집

전략: 다른 용어로는 대안 ,옵션, 행동 등과 같이 혼용되고 있으나 전략으로 많이 사용하고 있다. 게임을 운영하는 하나의 대안을 뜻한다.

순수 전략: 게임에 참여한 참가자들이 게임을 운영하는데 사용할 수 있는 여러 가지 대안중에서 단 하나의 대안으로 게임을 운영하고자 할 때 그 대안을 순수 전략이라고 한다.

혼합 전략: 각 참가자들이 자기들의 이익을 높이기 위하여 여러 순수전략을 혼합하여 사용할 때 이런 전략을 혼합전략이라고 한다.

2. 게임이론의 역사

1944년 von Neumann과 Morgenstern의 Theory of Game and Economic Behavior라는 책이 출판되면서 세상에 소개되었다. 이 책으로 의해 게임이론은 학문으로서의 기반이 굳혀졌다고 할 수 있다. 이책에 의해 2인게임, 즉 이해당사자가 두 그룹인 경우의 이론이 확립되었고, 이어서 이해당사자가 2인이 넘는 경우, 즉 다인게임의 이론이 발전되어 갔다. 특히 1950년대는 다인게임에 있어서의 협상문제를 비롯한 실용문제가 많이 연구되었다. Nash의 다인 비협조게임의 이론과 협상모형의 해가 나타났으며  Luce와 Raiffa의 Games and Decisions  이라는 책이 이때의 대표적인 책이라 할수 있다.

1944년 게임이론의 화려한 출현에 비하여 1950년대는 비교적 발전이 저조한 상태였으나 1960년대에 들어와 다인게임이 시장경제분석에 사용됨으로써 새로운 활기를 띠게 되었다. 다인게임의 특성함수형이 더욱 발전되었고 경제학자들에 의해 다인게임의 해가 더욱 발전됨에 따라 수리경제학에 기여하는 한편 실제 경제 문제에 더욱 많은 응용을 보게 되었다.

그리고 이 시대에 미분게임이 발표돼 일반공학분야에 응용되기 시작하였다.

1970년대는 그동안 개발된 이론들이 정치, 경제, 사회, 심리, 공학, 군사, 외교등에 적극적으로 응용되어 학문의 내용이 풍부해졌고 후반에는 전문지가 나타나기 시작하였으며 또한 심포지엄도 나타나게 되었다. 그리고 게임이론은 그 내용의 명확성과 풍요성 그리고 현대사회가 점차 복잡해짐에 따라 발생되는 다양한 이해 상충현상 때문에 점점 응용빈도가 높아져 가고 응용범위도 넓어져 가고 있다.

3.게임의 분류

게임을 대표하는데는 4가지 구성요소가 있어야 한다. 즉 참가자, 전략, 이득 그리고 결탁이 바로 그것이다. 게임을 진행하려면 반드시 게임을 운영할, 즉 이익상반의 상황에서 이득을 높이려는 당사자가 있어야 한다. 다음에는 이들 당사자, 즉 게임의 참가자들이 취할 행동방향, 즉 전략이 있어야 한다. 이 전략이 없이는 게임이 진행될 수 없다. 그리고 다음으로 참가자들이 각 전략을 취했을 때 각자에게 돌아가는 이득이 분명히 나타나야 한다. 이 이득이 없이는 게임의 결과를 나타낼 수가 없기 때문이다. 마지막으로 결탁이 인데 게임을 진행하는 도중 참가자들 사이에 전보교환, 협박, 협의, 결탁등 어떠한 종류든 교신이 있는지 없는지를 분명히 해 두어야 한다. 이러한 4가지 요소가 갖추어지면 게임이 진행될 수 있고 따라서 게임의 모형도 이 4가지 요소에 따라 구별된다.

우선 참가자의 수에 따라 2인게임과 2인 이상의 게임, 즉 다인게임 그리고 참가자가 한 사람인 대자연게임으로 나뉜다. 그리고 2인게임과 다인게임에서는 다시 어떠한 형태든 결탁이 있느냐 없느냐에 따라 협조게임과 비협조게임으로 나뉜다. 그리고 비협조게임은 다시 각 참가자들의 합이 영이냐 아니냐에 따라 영합게임과 비영합게임으로 나뉜다. 전략의 수에 따라 서는 그 개수가 유한이면 유한게임, 무한개이면 무한게임이라고 하는데 대자연게임까지는 모두 유한게임이다. 참가자의 전략이 연속적인 게임, 즉 무한게임은 분류하기가 어려우나 그 특성으로 보아 결투모형이 있고, 최근에는 미분게임이 많은 발전을 보고 있다. 또 이와 관련이 되는 경매모형도 유한 게임에 포함시킬 수 있을 것이다.

4.사례별 연구

(1)두 용의자의 고민(2인 게임)

경찰에 체포된 두 범죄 피의자에 관한 이야기이다. 이들을 보니와 클라이드라고 부르자. 경찰은 현재 이 두사람이 1년씩의 징역형을 받게 될 비교적 가벼운 범죄에 대해 확실한 물증을 가지고 있다고 하자. 그러나 경찰은 이들이 보다 심각한 은행강도 행위를 했다는 심증은 가지고 있으나 확실한 물증은 없다고 하자. 그러나 경찰은 보니와 클라이드를 각각 분리된 방에 감금하고 다음과 같이 제안을 한다. "지금 당장 우리는 너를 1년간 형무소에 보낼수 잇다. 그러나 너희 둘이 은행강도라는 것을 자백하고 다른방에 있는 네 친구를 주범이라고 증언하면, 너는 수사에 협조한 대가로 석방되고 네 친구는 혼자 20년 형을 살게 될 것이다. 그러나 너희 둘 모두가 자백을 하면 너희 둘 다 공범으로 8년씩 살게 될 것이다.

형량은 보니와 클라이드의 자백에 의하여 정하여지기 때문에 각각은 전략을 세우게 될 것이다.  보니의 생각:클라이드가 어떤 선택을 할지는 알수 없다. 만약 그 친구가 끝까지 입을 다문다면, 나는 자백을 하는 것이 유리하다.(바로 석방되기 때문에) 만약 그친구가 자백을 한다면, 그래도 역시 나는 자백을 하는 것이 유리하다.(20년 보다는 8년 형을 사는 것이 낫기 때문에) 결국 나는 클라이드가 어떻게 하든지 간에 자백을 하는 것이 유리하다.

클라이드도 같은 생각을 하게 될 것이다. 그래서 결국 보니와 클라이드는 8년형을 받게 되는 것이다.  여기서 상대방이 어떤 전략을 선택하던지와 무관하게 자기에게 유리한 전략있다면 우월전략이라고 한다.  두사람간의 협조 관계를 유지하고 있었다면 그들은 1년형을 받게 되었을 지도 모른다. 결국 여기서 협조관계의 중요성이 나온다. 결탁의 문제이다.

(2)공유자원

엑손과 아르코 두 석유회사가 인접한 유전을 소유하고 있다고 하자 그런데 이 유전은 땅 밑으로 원유가 연결되어 매장되어 있고, 그 가치는 총 1,200만 달러라고 한다. 석유를 채취하기 위한 유공하나를 뚫는데는 100만 달러의 비용이 든다. 두 회사가 각각 한 개씩의 유공을 뚫는다면 , 각 회사는 500만 달러의 이윤을 얻게 된다.(600만 달러 수입에서 100만 달러 유공개발비를 뺀 나머지) 만약 한 회사가 유공을 하나 더 뚫어 두 개의 유공을 갖고, 다른 회사는 한 개의 유공만을 갖게 된다면 이 회사는 원유의 2/3를 채취할 수 있다. 이 경우 이윤은 600만 달러가 된다. 그러나 두 회사가 모두 두 개씩의 유공을 갖는다면 각 회사의 이윤은 400만 달러가 된다.

(3)전개형

게임을 표현하는 방법으로 크게 전개형과 표준형의 두가지로 나눌 수 있다. 표준형은 다시 표준형과 다인협조게임에 적용되는 특성함수형으로 나뉜다. 특성함수형이란 형을 포함한 표준형은 게임을 수식으로 표현하는 방법으로 표현이 간결하기 때문에 게임은 주로 이 표준형으로 연구한다. 반면 전개형은 게임을 나무형태로 나타내는 것으로 게임의 진행과정을 명백히 알 수 있는 장점을 가지고 있다. 점과 선분으로 이루어진 집합으로서 서로 연결되어 있으며 이 집합을 나무라고 한다. 그리고 게임을 나무로 표현했을 때 이 나무를 게임나무라고 한다. 말하자면 게임의 진행과정을 이 게임나무로 표현하는 형태를 전개형이라고 한다.

(4)행렬게임

극한적 대립상태에 있는, 대부분의 군사적, 국제외교적 2인 게임이 이와 비슷한 서로의 이해가 극한적으로 상반되는 경우의 게임이 된다. 이러한 게임은 이해에 직접적으로 관련돼 있는 게임의 참가자가 둘 있고 이 두 참가자 사이의 이해득실은 반대이기 때문에 참가자 1이 얻는 것 만큼 참가자 2가 잃게 된다. 다시 말하자면 두 사람이 얻는 양을 합하면 영이 된다. 그래서 그러한 게임을 2인 영합게임이라고 한다. 한편 참가자 1과 2가 전략을 선택했을 때 그 결과, 즉 참가자 1과 2가 얻는 양은 서로 부호만 다르기 때문에 참가자 1이 얻는 양으로 대변시킬수 있다. 그리고 참가자 1의 모든 이득은 행렬로 나타낼 수 있고 따라서 이 게임의 이득도 하나의 행렬로 표현할 수 있다. 따라서 이 게임을 행렬게임이라고 부른다.

(5)선형계획법

선형계획법은 경영과학 분야에 가장 기초적인 기법으로 널리 사용되고 있다. 특히 자원배분의 최적화기법으로 행정, 관리, 설계문제에 있어 경영과학의 다른 어느기법보다 널리 사용되는 기법이라 하겠다. 이 선형계획법은 그 형태가 간결하여 사용하기가 편리하고 또 해법이 잘 개발돼 있어 활용의 가치가 크다. 게임이론은 선형계획법과는 다른 발상에서 생겨나서 벌전돼 왔다. 그러나 이 게임이론이 선형계획법으로 변형될 수 있어 게임의 해를 구하는데 이 선형계획법이 좋은 도구로 사용되고 있다.

(6)다인 협조게임

참가자가 3인 이상이고 게임을 진행하는 동안 사전교신이 허용되는 게임을 말한다. 다인협조게임이 다른 모형과 구별되 수 있는 가장 큰차이는 결탁에 있다. 참가자가 3인 이상일 경우에는 2인 이상이 결탁하여 다른 참가자에 대항할 수 있다. 이러한 현상은 2인게임에서는 나타날 수 없었던 것이다. 게임에서는 자기의 이득을 높이는 것이 목표이고 3인이상의 게임에서도 각 참가자가 독립적으로 행동하는 것보다 더 많은 이득을 취할려고 할것인데 결탁을 통하여 각자의 이득을 높일 수 있게 되는 것이다. 이것이 다른 모형과 근본적으로 구별되는 차이라 하겠다. 이 모형은 많은 참가자 사이에 일어나는 일반적인 게임을 다루는 모형이기 때문에 가장 응용범위가 넓은 모형이기도 하다. 경제, 경영 뿐만 아니라 정치, 외교, 군사등 많은 분야에 응용되고 있다.

(7) 다인 비협조 게임

이 게임에서는 사전교신은 허용되지 않는다. 각 참가자사이의 통신, 정보교환이 불가능하며 위협, 또는 결탁도 물론 허용되지 않는다. 따라서 각 참가자가 독립적으로 게임을 진행하여야 한다.

(8) 대자연게임

우리들은 실제생활에서 여러 가지 대안들 중에서 어떤 대안을 선택해야하는 결정문제를 흔히 보게 된다. 그런데 이러한 대안의 선택문제는 이해에 적극적으로 관련되어 있는 사람이 한 사람뿐인 1인게임과 같다.